Клиент приехал за грузом на своей машине или им же нанятой. Что в этом случае оформляет грузоотправитель?

Тут вопрос, это самовывоз или клиент оформляет от себя перевозку (оформляет договор перевозки). Грузоотправитель не обязан сам нанимать машину. И в такой ситуации всё работает так: кто заказал перевозку – тот и оформляет документы.

Что делает получатель (который нанял машину):

• Он становится тем, кто организует перевозку, поэтому он оформляет ЭТрН. В этой накладной он выступает сразу в двух ролях: и как грузоотправитель (потому что инициировал и оплатил перевозку), и как грузополучатель (потому что в итоге забирает товар). 
• Перед формированием ЭТрН нужно оформить электронную заказ-заявку (ЭЗЗ) – она фиксирует параметры рейса (что, откуда, куда, требования к транспорту). 
• В самой ЭТрН участники заполняют свои титулы: получатель-грузоотправитель заполняет и подписывает первый титул (сведения о сторонах, грузе, ТС, водителе), затем перевозчик подписывает свои титулы (приём груза, финальная передача), а в конце получатель как грузополучатель подписывает титул приёмки. 
• Параллельно с ЭТрН нужно решить вопрос с товарным блоком: отдельно передаётся формализованный УПД (или ТОРГ-12), который фиксирует, что именно и в каком количестве передано. Когда по договору переходит право собственности — это отдельный вопрос, который решается в вашем основном договоре с поставщиком.

А что в это время делает грузоотправитель (продавец, поставщик)? Он не оформляет ЭТрН, потому что не заказывал перевозку. Но в ЭТрН, которую сформировал получатель, грузоотправитель может быть указан как лицо, осуществляющее погрузку (ЛОП). То есть он участвует в процессе документально на этапе погрузки, но не берёт на себя роль заказчика перевозки и не подписывает ЭТрН.